SOMMARIO:

1. Premessa - 2. La matematica giudice del diritto: la valutazione della chiarezza (anzitutto) degli atti di causa e (successivamente) della sentenza - 3. Logica matematica e logica giuridica - 4. Il corretto uso delle percentuali: gli avvocati alla prova - 5. Segue. Il corretto uso delle percentuali: il tasso di interesse corrispettivo e il tasso di mora - 6. Il pubblico ministero intuisce la truffa contrattuale: la “magia” della progressione geometrica - 7. Il calcolo combinatorio: il giudice curioso - 8. Il calcolo delle probabilità e il teorema di Bayes: la rilevanza del singolo indizio - 9. Il principio del Cardinale Newman: la rilevanza di una serie di indizi - 10. L’intelligenza artificiale e l’insostituibile ruolo del giudice - 11. Il diritto di prelazione. Una semplice applicazione della teoria dei giochi - NOTE

1. Premessa

Le intersezioni fra matematica e processo sono numerosissime. Intendo dedicare il tempo a mia disposizione per dimostrare che un uso corretto della matematica può agevolare la trattazione di una serie variegata di problemi, mentre un suo uso distorto può condurre ad errori significativi. Illustrerò – quindi – alcuni esempi pratici, allo scopo di mettere in evidenza quale sia la corretta impostazione dei problemi.

2. La matematica giudice del diritto: la valutazione della chiarezza (anzitutto) degli atti di causa e (successivamente) della sentenza

Desidero prendere le mosse da un modello che, attraverso l’applicazione di una semplice formula, consente di attribuire una valutazione alla chiarezza espositiva di un testo qualsiasi e, per ciò che interessa in questa sede, alla chiarezza espositiva di un atto processuale o di una sentenza. Negli anni ’70, in base a un contratto con la Marina degli Stati Uniti, Rudolph Flesch e Peter Kincaid divennero noti per lo sviluppo di una serie di scale e test che ambivano a misurare quanto sia difficile o facile leggere un determinato testo, basandosi sulla lunghezza delle parole e delle frasi che lo compongono. Queste formule erano basate sul presupposto che esiste una correlazione negativa tra la leggibilità e la lunghezza di parole e frasi. In particolare, nel test “Flesch Reading Ease Score (FRES)”, un punteggio elevato indica che il testo è relativamente facile da leggere, mentre i numeri più bassi indicano una maggiore difficoltà. La formula per il test “Flesch Reading Ease Score” è la seguente [1]: 206.835 - (1.0515) Total Words - (84.6) Total Syllables Total Sentences Total Words   SCORE SIGNIFICANCE 90-100 Easily understood by average 11-year-old students 60-70 Easily understood by average 13-15-year-old students 0-30 Easily understood by university graduates I risultati sembrano avere un senso poiché frasi più brevi e meno sillabe sono generalmente più facili da leggere e hanno una maggiore tendenza ad evitare l’ambiguità. Il test ha ottenuto un’ampia accettazione; la sua scala è stata persino utilizzata per stabilire requisiti minimi di leggibilità nel caso di referendum. Si potrebbe avanzare l’idea di inserire sul Processo Civile Telematico un programma di ranking degli atti depositati, se non altro come modello di autovalutazione per gli avvocati.

3. Logica matematica e logica giuridica

Si può affermare che la logica matematica e la logica giuridica coincidono e ciò corrisponde a verità sia nell’ipotesi in cui si faccia uso della logica classica (quella aristotelica) sia nel caso in cui si faccia invece ricorso alla logica moderna. Tale affermazione di principio pone, tuttavia, non pochi problemi nell’ap­plicazione pratica. Al proposito, pare utile prendere le mosse da una situazione accaduta realmente negli Stati Uniti in una causa del 1946 dello Stato dell’Ohio contro un medico sospettato di aborti clandestini [2]. Ad accusarlo stava la testimonianza di una donna che a lui si era affidata appunto per abortire e che – dunque – do­veva ritenersi, secondo la legge, sua complice. Mancavano però prove che confermassero quella deposizione, di per sé insufficiente perché rilasciata – come si è detto – da una complice: il medico poteva, infatti, essere riconosciuto colpevole solo sulla base di un argomento apparentemente inadeguato a dichiararlo tale. La giuria si trovava, dunque, in un cul-de-sac: infatti, o respingeva la testimonianza, e quindi l’imputato andava assolto, oppure la accoglieva, ma allora la teste era complice, la sua affermazione diventava insufficiente e quindi l’imputato doveva comunque essere assolto. Ad analoghi equilibrismi poteva d’altra parte affidarsi l’accusa, rilevando che, ove il medico fosse stato ritenuto innocente, la donna non sarebbe risultata complice di alcun reato, dunque la sua testimonianza sarebbe divenuta attendibile e l’imputato sarebbe stato da condannare. Nel caso in questione, che mette in evidenza come la logica classica spesso venga intrappolata in paradossi, la giuria risolse il dilemma con una sentenza di condanna.

4. Il corretto uso delle percentuali: gli avvocati alla prova

Credo sia utile svolgere qualche premessa terminologica. L’interesse è un valore assoluto e costituisce il “costo finanziario” del capitale. Esso è calcolato in funzione del capitale, del tasso di interesse e del perio­do di maturazione. Il tasso di interesse, per contro, è una misura relativa e corrisponde – nella sua nozione elementare – all’incidenza dell’interesse (“costo finanziario” del capitale) sul capitale medesimo. Esso viene normalmente espresso in misura percentuale. Occorre, peraltro, prestare attenzione alla circostanza che la locuzione “per cento” potrebbe indurre ad un errore applicativo. Infatti, l’espressione 10% (dieci per cento) deve essere interpretata – dal punto di vista matematico – nel senso di 10/100 (dieci diviso cento), e, cioè, della misura relativa di un interesse pari a 10 rapportato ad un capitale pari a 100; con l’ovvia conseguenza che 10% equivale a 10/100 = 0,10. E veniamo al problema [3]. Supponiamo che, in un processo civile, il giudice “convinca” le parti ad addivenire ad una soluzione conciliativa nei seguenti termini: – la Parte A deve pagare una somma pari ad euro 1.000,00 (oltre IVA del 22%); – la Parte B ha diritto ad uno sconto del 22% se paga cash. L’interrogativo, non banale, è se sia preferibile applicare lo sconto alla somma al netto o al lordo dell’IVA. Vediamo cosa succede. Prima Ipotesi: lo sconto viene applicato al netto dell’IVA Somma da pagare 1.000,00 – 22% = 780 780 + 22% = 951,60 Seconda Ipotesi: lo sconto viene applicato al lordo dell’IVA Somma da pagare 1.000,00 + 22% = 1.220,00 1.220,00 – 22% = 951,60 La soluzione è controintuitiva: si direbbe, infatti, che lo sconto abbia un effetto maggiore se applicato alla somma al lordo dell’IVA (seconda ipotesi). Al contrario, la soluzione è identica, anche al variare dell’aliquota IVA (v) e del tasso di sconto (d). La motivazione è da ricondurre alla proprietà commutativa della moltiplicazione: invertendo l’ordine dei fattori, il risultato non cambia. Infatti, Risultato = Valore × (1 – d) × (1 + v) = Valore × (1 + v) × (1 – d)

5. Segue. Il corretto uso delle percentuali: il tasso di interesse corrispettivo e il tasso di mora

Una delle questioni maggiormente dibattute nell’ambito del contenzioso bancario e, in particolare, nella valutazione dell’eventuale usurarietà di operazioni finanziarie è stata, nel passato ancora recente, la questione se il tasso di mora debba essere sommato al tasso di interesse corrispettivo. Sono stati spesi fiumi di inchiostro (rectius, molte forniture di toner) per giun­gere – ormai pacificamente, ma con qualche margine di incertezza conseguente ad una lettura non corretta di una sentenza della Suprema Corte (Cass. 4 ottobre 2017, n. 23192) – alla conclusione che tale sommatoria non è possibile. La conclusione, dal punto di vista matematico, può essere agevolmente dimostrata; devo, tuttavia, fare qualche premessa metodologica, chiamando in causa l’insieme dei cd. “numeri puri”, al quale appartengono i tassi di interesse, pur con i limiti di cui si dirà [4]. In particolare, un numero puro è un numero “adimensionale” ossia “di dimensione zero”: ad esempio, la lunghezza di un segmento è un numero mono-dimensionale e deve essere accompagnato dall’unità di misura (esempio: m, ossia metri), l’area di una figura piana è un numero bi-dimensionale, che deve quindi essere accompagnato dall’unità m2, il volume di un solido è un numero tri-dimensionale, che, in modo analogo, deve essere accompagnato dall’unità m3. Il quoziente di due numeri aventi la stessa dimensione è un numero puro, di dimensione zero, cioè adimensionale: ad esempio, le spese del personale front-office e il fatturato di una società, rispettivamente di euro 300.000 e di euro 1.000.000 sono numeri di dimensione uno, ma il loro rapporto euro 300.000/1.000.000 = 30% è un numero puro (nel caso specifico, un indice di bilancio). La somma e la differenza di numeri puri può essere effettuata solo se i due numeri puri sono “coerenti”, cioè se sono stati generati dallo stesso divisore e, in questo caso, il risultato è un numero puro “coerente” con i due operandi. E così, considerando un secondo indice di bilancio relativo alle spese di personale back-office e il citato fatturato, rispettivamente, di euro 160.000 e di euro 1.000.000, il loro rapporto è il numero puro euro 160.000/1.000.000 = 16%; unendo [continua ..]

6. Il pubblico ministero intuisce la truffa contrattuale: la “magia” della progressione geometrica

Giovanni Pautasso, un arzillo pensionato (beato lui!) di Pinerolo, decide di dar vita a una nuova catena di Sant’Antonio, fondata sulle seguenti regole: ciascun aderente paga una quota di iscrizione di euro 10.000,00 per ogni nuovo soggetto da lui (direttamente) convinto ad aderire, ottiene un ristorno (come nelle cooperative!) di euro 1.500,00; per ogni aderente (indirettamente) convinto ad aderire, ottiene un ulteriore ristorno di euro 500,00, che si riduce progressivamente di 100,00 euro per ogni successivo livello di adesione. Il Sig. Pautasso assicura a tutti gli aderenti che potranno agevolmente rien­trare della somma richiesta per l’adesione, essendo sufficiente il coinvolgimento di 7 aderenti (ristorno di 1.500,00 euro per 7), e di poter ottenere un significativo guadagno ove la (sua) (sotto)catena generi via via nuovi a­derenti. Un Pubblico Ministero legge la notizia sull’Eco del Chisone e decide di svolgere qualche approfondimento, e – in particolare – di verificare se il meccanismo sottenda un’ipotesi di truffa contrattuale. Il Pubblico Ministero (che conosce bene la matematica), nel ricostruire gli effetti della catena di Sant’Antonio, inquadra il meccanismo in una progressione geometrica di ragione 7 (il numero di nuovi aderenti necessari per rientrare della somma “investita”). Si interroga, quindi, se la catena abbia uno sviluppo potenzialmente infinito o se vi sia, invece, una saturazione più o meno rapida della popolazione. Egli applica, quindi, la (semplice) formula di calcolo della somma di una progressione geometrica:     1 – r n + 1 Somma = ––––––––     1 – r E scopre una cosa non certo intuitiva: dopo solo 9 passaggi il numero di soggetti coinvolti è pari a oltre 47 milioni, mentre dopo 10 passaggi il numero ascende a oltre 329 milioni. Ora, tenuto conto del fatto che la popolazione italiana è pari a meno di 70 milioni, l’intera popolazione italiana è coperta con meno di 10 passaggi (ipotizzando di incatenare anche i bambini!). Ma la cosa ancora più impressionante è la scoperta che dopo solo 11 passaggi il numero di soggetti coinvolti è pari a oltre 2 miliardi, mentre dopo 12 passaggi il numero ascende a oltre 16 miliardi. Ora, tenuto conto del fatto che la popolazione [continua ..]

7. Il calcolo combinatorio: il giudice curioso

Un giudice deve emettere una sentenza nell’ambito di un processo che vede 10 imputati dello stesso reato e si interroga – ovviamente solo sul piano teorico – su quanti siano i casi possibili di assoluzione o condanna. Si tratta di un’ipotesi di combinazioni con ripetizione di k oggetti di ordine n, dove k sono gli imputati e n le due ipotesi di condanna o assoluzione. Il risultato è:     (n + k – 1)!   (2 + 10 – 1)!   11!     Casi possibili = ––––––––––– = ––––––––––– = ––––––––––– = 11     (n – 1)! × k!   1! × 10!   10!     Ci sono solo 11 casi possibili! Chi non conoscesse il calcolo combinatorio, potrebbe agevolmente provare la fondatezza del risultato, elencando tutti i casi possibili: nessun condannato; un condannato e tutti gli altri prosciolti; ecc. Evidentemente, se il giudice si chiedesse invece: «in quanti modi diversi si possono formare le “classi” di assolti e imputati, tenuto conto dei singoli imputati», il numero ascenderebbe a 1.023. Per soddisfare la curiosità (penso di pochi!): si tratta della sommatoria delle combinazioni semplici di n elementi (gli imputati) presi k a k (numero dei condannati o degli assolti). Ah, dimenticavo: la probabilità (teorica), per il singolo imputato, di essere condannato è pari al 50,05%. Se gli imputati fossero 20, il numero di casi possibili esploderebbe (1.048.475), ma la probabilità, per il singolo imputato, di essere condannato rimarrebbe pressoché costante (50,00%); e, se gli imputati fossero 5, il numero di casi possibili si ridurrebbe drasticamente (31), ma – anche in tale caso – la probabilità, per il singolo imputato, di essere condannato non si modificherebbe in misura sostanziale (51,61%). Evidentemente, si tratta di un mero esercizio teorico, in quanto gli imputati raramente sono “indipendenti”, ma agiscono – scusatemi l’imprecisione tecnica – “in concorso”; in tali casi, evidentemente, i risultati sopra esposti non hanno significato.

8. Il calcolo delle probabilità e il teorema di Bayes: la rilevanza del singolo indizio

Supponiamo che sul luogo del delitto venga trovata una goccia di sangue di tipo Rh+ e che, nei dintorni del luogo medesimo, sia fermato un pregiudicato il cui gruppo sanguigno è – guarda caso! – Rh+. Ipotizziamo che la frequenza statistica dei pregiudicati poi ritenuti colpevoli sia pari al 5%, che la frequenza statistica dei soggetti con gruppo Rh+ sia del 50% e che la frequenza statistica degli assassini (plurale di assassino, non di assassinio!) con gruppo Rh+ sia pari al 70%. Qual è la probabilità che il pregiudicato, valutato sulla base del gruppo sanguigno di appartenenza, sia l’autore dell’omicidio? Per conoscere la risposta corretta è necessario utilizzare il teorema di Ba­yes, che fornisce la probabilità di un certo evento, condizionata dalla probabilità di un altro evento (o di una serie di altri eventi). La formula è la seguente:     P (B|A) × P (A) P (A|B) = –––––––––––––     P (B) dove: B = Evento condizionante A = Evento condizionato Nel nostro esempio, indichiamo le grandezze come segue: P(A) = frequenza statistica dei pregiudicati poi considerati colpevoli = 5% P(B) = frequenza statistica dei soggetti con gruppo Rh+ = 50% P (B|A) = frequenza statistica degli assassini con gruppo Rh+ = 70%     70% × 5%     P (A|B) = ––––––––––––– = 7%     50%     Nel caso ipotizzato, quindi, l’indizio a carico del pregiudicato ha un “peso di colpevolezza” del 7%, superiore alla probabilità che il pregiudicato – in generale – sia colpevole; ciò dipende dal fatto che egli possiede gruppo sanguigno Rh+, la cui frequenza in capo agli assassini (70%) è maggiore della frequenza media (50%). Proviamo ora a vedere cosa succede se la frequenza di soggetti con gruppo Rh+ si riduce.   P (B) = 30% P (B) = 20% P (B) = 10% P (A|B) = 70% 12% 18% 35% È agevole notare come, al ridursi della frequenza di soggetti con gruppo sanguigno Rh+, la probabilità di colpevolezza cresca, addirittura più che proporzionalmente. Il [continua ..]

9. Il principio del Cardinale Newman: la rilevanza di una serie di indizi

Nel processo sia civile sia penale, l’utilizzo di strumenti probabilistici è imprescindibile [5]. Ipotizziamo che l’autorità giudiziaria debba valutare la colpevolezza di un imputato e che abbia riscontrato due indizi indipendenti, attribuendo un valore probante a ciascuno di essi. Usando il linguaggio dell’incertezza, si tratta di 2 valutazioni di probabilità condizionata o inferenziale: la probabilità di colpevolezza, dati gli indizi. Supponiamo che le due probabilità condizionate (= valori probanti) siano del 40% per il primo (presenza di una goccia di sangue) e dell’80% per il secondo (presenza di un capello). L’autorità giudiziaria deve valutare quanto “pesino” questi due indizi, ossia quale sia il valore probante della coppia. La prima idea potrebbe essere il ricorso alla somma 40% + 80% = 120% che manifestamente conduce ad un risultato paradossale, in quanto una probabilità non può superare il 100%. La risposta corretta scaturisce invece dal seguente calcolo: 1 – (1 – 40%) × (1 – 80%) = 88% Cioè, l’evento certo (100% o 1 in termini unitari) meno il prodotto delle probabilità complementari degli indizi. La risposta probabilistica diventa ancora più interessante e controintuitiva all’aumentare degli indizi. È ovvio che al crescere del numero degli indizi, aumenta la probabilità di insolvenza. Tuttavia, come si vedrà, il contributo di ciascun indizio aggiuntivo è via via meno rilevante. Ipotizziamo che vi siano quattro indizi con i seguenti valori di probabilità: Primo: 30% Secondo: 30% Terzo: 30% Quarto: 30% Una valutazione errata condurrebbe alla conclusione che la probabilità congiunta è del 120% (= 30% + 30% + 30% + 30%), quindi più della certezza, il che – nuovamente – è assurdo. In realtà, il contributo di ciascun indizio aggiuntivo può essere come di seguito calcolato: Primo = 1 – (1 – 30%) = 30% (Δ = 30%) Secondo = 1 – (1 – 30%) × (1 – 30%) = 51% (Δ = 21%) Terzo = 1 – (1 – 30%) × (1 – 30%) × (1 – 30%) = 65,70% (Δ = 14,7%) Quarto = 1 – (1 – 30%) × (1 – 30%) × (1 – [continua ..]

10. L’intelligenza artificiale e l’insostituibile ruolo del giudice

Cerchiamo ora di capire se l’espansione applicativa dell’intelligenza artificiale possa sostituire il giudice. Ipotizziamo che l’insieme degli indizi a carico di un imputato conduca a una probabilità di colpevolezza dell’80% e che, purtroppo – o, come si vedrà, per fortuna –, la giurisprudenza non abbia ancora individuato una soglia (certa) di rilevanza (della probabilità). Nel caso di specie (80%), si rientrerebbe nell’area della significativa probabilità, ma forse non dell’elevata probabilità (95%, forse!); con la conseguenza che il giudice si troverebbe in una sorta di dubbio amletico, non sapendo se condannare o assolvere. La situazione può essere descritta con una semplice matrice:   ASSOLTO CONDANNATO INNOCENTE CORRETTO SBAGLIATO COLPEVOLE SBAGLIATO CORRETTO Cioè il giudice, in presenza di un insieme di indizi a carico dell’imputato che conduce a una probabilità di colpevolezza dell’80%, potrebbe assolvere l’im­putato innocente o condannare l’imputato colpevole, ma potrebbe anche as­solvere l’imputato colpevole o condannare l’imputato innocente; commettendo un errore negli ultimi due casi. Poiché, come si è detto, la giurisprudenza non ha ancora pacificamente individuato una soglia di rilevanza della probabilità, il problema sembrerebbe non risolvibile; per contro, se fosse indicata una soglia di rilevanza la soluzione potrebbe apparire automatica e quindi risolvibile con un sistema di intelligenza artificiale. Ma procediamo per gradi. Si potrebbe ritenere che la soglia di rilevanza non sia necessaria, ricorrendo ad un modello tratto da una branca recente della matematica: la teoria delle decisioni [6]. Si potrebbe, cioè, ritenere che la decisione possa essere assunta, tenendo conto non solo della probabilità di colpevolezza, ma del costo sociale dell’er­rore. Infatti, se venisse assolto un imputato colpevole vi sarebbe un costo sociale (per semplicità, della prima specie), corrispondente al rischio che questi commetta altri reati, e se venisse condannato un imputato innocente vi sarebbe un costo sociale (per semplicità, della seconda specie), corrispondente al risarcimento del danno derivante da una condanna ingiusta. Indichiamo i termini del problema [continua ..]

11. Il diritto di prelazione. Una semplice applicazione della teoria dei giochi

L’ultimo esempio che vorrei illustrare riguarda il diritto di prelazione, che assume particolare rilevanza sia nel caso in cui sia attribuito convenzionalmente sia nell’ipotesi in cui sia riconosciuto per legge. Il tema è di estremo interesse teorico e pratico, in quanto involge la tutela di interessi che – a seconda dei casi – possono assumere rilevanza diversa. A tale fine, farò ricorso alla teoria dei giochi. La teoria dei giochi è la scienza matematica che studia e analizza le decisioni individuali di un soggetto in situazioni di conflitto o interazione strategica con altri soggetti rivali (due o più), finalizzate al massimo guadagno di ciascun giocatore; in tale contesto, le decisioni di un giocatore possono influire sui risultati conseguibili dagli altri e viceversa, secondo un meccanismo di retroazione (Wikipedia). La nascita della moderna teoria dei giochi può essere fatta coincidere con la pubblicazione – nel 1944 – del libro “Theory of Games and Economic Behavior” di John von Neumann (un matematico) e Oskar Morgenstern (un economista). Il più famoso studioso a essersi occupato successivamente della teoria dei giochi, e in particolare dei cd. “giochi non cooperativi” (v. infra), è il matematico John Forbes Nash jr., protagonista del film di Ron Howard “A Beautiful Mind”. Ipotizziamo che vi siano due partecipanti ad una procedura competitiva e che vi sia anche un terzo, titolare del diritto di prelazione. Supponiamo che i prezzi di riserva, cioè i prezzi che i diversi partecipanti sono disposti ad offrire, siano i seguenti:   PREZZO DI RISERVA Partecipante 1 80 Partecipante 2 100 Prelazionario 120 Nel caso in cui sia riconosciuto il diritto di prelazione, la matrice dei risultati (tecnicamente, la matrice dei payoff) assume la seguente composizione: Partecip. 2 Partecip. 1 Non rilancia Rilancia Non rilancia 0, 0 0, 100 Rilancia 80, 0 80, 100   Il risultato del “gioco” è il seguente: Strategia dominante Casella blu Equilibrio di Nash Casella blu Ottimo paretiano Non raggiunto Nel caso di specie, l’ottimo [continua ..]

NOTE